Главная >> Геометрия 7—9 классы. Атанасян

§ 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника

Теорема косинусов

Теорема

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон, умноженное на косинус угла между ними.

Доказательство

Пусть в треугольнике АВС АВ = с, ВС = а, СА = b. Докажем, например, что

а² = b² + с² - 2bc cos А.                 (1)

Введём систему координат с началом в точке А так, как показано на рисунке 293. Тогда точка В будет иметь координаты (с; 0), а точка С — координаты (b cos A; b sin А). По формуле расстояния между двумя точками получаем:

ВС² - a² = (b cos А - с)² + b² sin2 А =
= b² cos² А + b² sin² А - 2be cos А + с² =
= b² + с² - 2bc cos А.

Теорема доказана.

Теорему косинусов называют иногда обобщённой теоремой Пифагора. Такое название объясняется тем, что в теореме косинусов содержится как частный случай теорема Пифагора. В самом деле, если в треугольнике АВС угол А прямой, то cos А = cos 90° = 0 и по формуле (1) получаем

а² = b² + с²,

т. е. квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.